공간도형과 공간좌표

공간은 깊이가 생겨 보는 방향에 따라 길이·각이 달라 보여요. 그래서 눈을 믿지 말고 직각·수직을 따져야 해요.

공간 문제를 평면 하나로 끌어내려 평면 문제로 바꾸기 · 이게 핵심이에요.

이차곡선(2차원)에 축을 하나 더하면 공간좌표(3차원), 뒤의 벡터는 이를 화살표로 자동화해요.

두 직선 · 만남 · 평행 · 꼬인 위치(한 평면 위에 없음).

직선·평면 · 포함 · 만남 · 평행.

두 평면 · 교선을 가짐 · 평행.

한 평면에 같이 못 있으면 꼬인 위치예요.

직선⊥평면은 그 평면 위에서 한 점에서 만나는 두 직선과 모두 수직이면 평면 전체와 수직이에요. 이 '두 직선이면 충분'이 삼수선정리의 씨앗이에요.

수직 세 개가 자동으로 연결되는 구조예요. 평면 $\alpha$ 위의 직선 $\ell$, 평면 밖의 점 $P$, 수선의 발 $H$, 그리고 $H$에서 $\ell$에 내린 발 $O$를 잡으면:

$\overline{PH}\perp\alpha$ 이고 $\overline{HO}\perp\ell$ 이면 $\Rightarrow$ $\overline{PO}\perp\ell$.

$\ell$이 $\overline{PH}$, $\overline{HO}$ 모두와 수직이라 평면 $PHO$ 전체와 수직, 그 평면 안의 $\overline{PO}$도 자동으로 수직이 돼요. $\overline{PH}=3$, $\overline{HO}=4$면 $\overline{PO}=5$ · 결국 직각삼각형을 피타고라스로 잇는 작업이에요.

이면각 · 교선 위의 한 점에서 양쪽 평면에서 교선에 수직으로 그은 두 반직선이 이루는 각. 두 변은 반드시 교선에 수직이어야 해요.

정사영 · 선분의 길이 $=\overline{AB}\cos\theta$, 도형의 넓이 $S'=S\cos\theta$.

$\theta$는 선분이 기운 각이 아니라 평면과 평면 사이의 이면각이에요.

넓이 $8$인 도형을 이면각 $60^\circ$로 비추면 그림자 넓이는 $8\cos60^\circ=4$. 원래 넓이 $S$와 정사영 넓이 $S'$를 주면 $\cos\theta=\dfrac{S'}{S}$로 이면각을 구할 수 있어요.

$z$축을 하나 더 세우면 공간좌표 $(x,y,z)$. 평면에서 하던 일이 그대로 한 차원 올라가요.

두 점 사이 거리 · $\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$ · 피타고라스.

내분점 · $\left(\dfrac{mx_2+nx_1}{m+n},\ \dfrac{my_2+ny_1}{m+n},\ \dfrac{mz_2+nz_1}{m+n}\right)$

평면 공식에 $z$ 항 한 줄만 추가 · 구조가 똑같아요.

원점과 $(2,3,6)$ 사이 거리는 $\sqrt{4+9+36}=7$.

구 · 중심 $(a,b,c)$, 반지름 $r$일 때 $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2$. 우변이 양수여야 진짜 구가 돼요.

구∩평면 = 원, 그 반지름은 $r'=\sqrt{r^2-d^2}$ ($d$ = 구의 중심에서 평면까지의 거리).

요약 · 꼬인 위치 · 삼수선정리 · 이면각은 교선 수직 · 정사영 $S'=S\cos\theta$ · 공간좌표·구는 $z$ 한 줄 더.

직각삼각형을 평면 하나로 끌어내려 피타고라스·$\cos\theta$로 푼다. 다음 단원 벡터가 이 과정을 화살표로 자동화해요.