지수함수와 로그함수 개념정리

처음 $a^n$은 '$a$를 $n$번 곱한다'는 뜻이에요. 그런데 이 정의는 $n$이 자연수일 때만 말이 돼요. $a^0$이나 $a^{1/2}$은 '몇 번 곱하라'로는 설명이 안 돼요.

그래서 수학은 규칙을 깨지 않게 의미를 넓혀요. 지수법칙 $a^m \times a^n = a^{m+n}$이 계속 성립하도록 정의를 확장하는 거죠.

• 0 지수 · $a^0=1$ (거듭제곱 곱셈 규칙을 유지하려면)
• 음의 지수 · $a^{-m}=\dfrac{1}{a^m}$
• 유리수 지수 · $a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$, 그래서 $a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$

밑이 $a>0$이어야 하는 이유가 보여요. $(-8)^{1/2}=\sqrt{-8}$은 실수가 아니고, $(-1)^{1/2}$과 $(-1)^{2/4}$가 달라지거든요. 무리수 지수 $a^{\sqrt{2}}$는 극한값으로 정해요.

$2^x=8$의 답은 $x=3$이에요. 그런데 $2^x=10$이면? 답이 분명 존재하는데 그 수를 적을 기호가 없어요. 그래서 만든 게 로그예요.

로그는 새로운 연산이 아니라 **'지수를 구하는 질문'**이에요.

$a^x = N \iff x = \log_a N \quad (a>0,\ a\neq 1,\ N>0)$

$\log_a N$ = "$a$를 몇 제곱해야 $N$이 되나?"의 답.

조건도 정의에서 자연스럽게 나와요. $a=1$이면 $1^x$은 항상 1이라 못 풀고, $N \le 0$이면 양수 밑을 아무리 거듭제곱해도 안 돼요.

기본 값들: $\log_a 1 = 0$, $\log_a a = 1$, $a^{\log_a N}=N$, $\log_a a^x = x$. 지수와 로그가 서로를 '풀어주는' 짝이라는 게 핵심이에요.

로그의 힘은 곱셈을 덧셈으로 낮춰주는 데 있어요.

$M=a^x,\ N=a^y$이면 $MN = a^{x+y}$ 이므로

$\log_a MN = x+y = \log_a M + \log_a N.$

곱이 더하기가 된 건 지수끼리 더해지기 때문이에요. 같은 논리로:

• $\log_a \dfrac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$
• $\log_a M^k = k\log_a M$

로그 성질은 '지수법칙의 거울'.

$\log_a(M+N)$은 절대 쪼개지지 않아요. 합·차에는 성질이 없다는 걸 처음부터 못 박아두세요.

$\log_2 3$과 $\log_5 7$은 밑이 달라 비교가 안 돼요. 그래서 밑을 갈아끼우는 공식이 필요해요.

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \quad (c>0,\ c\neq 1)$

밑변환 = '원하는 밑 $c$'로 위아래를 다시 쓰는 것.

따름공식들:

• $\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$
• $\log_a b \times \log_b c = \log_a c$ (가운데가 사라져요)

예: $\log_4 8 = \dfrac{\log_2 8}{\log_2 4} = \dfrac{3}{2}$. 밑을 2로 통일하니 한 줄에 끝나요.

$y=a^x$ $(a>0,\ a\neq 1)$의 그래프는 $a>1$이면 증가, $0<a<1$이면 감소해요. 공통점:

• 항상 **점 $(0,1)$**을 지나요
• 값이 늘 양수라 $x$축이 점근선
• 치역은 $y>0$

로그함수 $y=\log_a x$는 $y=a^x$의 역함수예요. 역함수는 직선 $y=x$에 대칭이에요.

지수와 로그 그래프는 $y=x$ 거울로 서로를 비춘 짝.

그래서 $(0,1)$ → **$(1,0)$**을 지나고, 점근선은 $x$축 → $y$축, 정의역과 치역도 맞바꿔져요.

크게 두 전략이 있어요.

(1) 밑을 같게 만든다. $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ → $f(x)=g(x)$로 내려요. 예: $4^x = 8$ → $2^{2x}=2^3$ → $x=\dfrac{3}{2}$.

(2) 양변에 로그를 씌운다. 밑을 못 맞추면 로그를 써요.

로그방정식에서 가장 중요한 게 진수 조건 점검이에요.

로그방정식은 푼 다음 '진수 > 0' 검산까지가 한 세트예요.

예: $\log_2 (x-1) + \log_2 (x-2) = 1$.

• $(x-1)(x-2)=2$ → $x=0$ 또는 $x=3$
• 진수 조건 $x>2$ → $x=3$만 답

치환도 강력해요. $4^x - 3\cdot 2^x + 2=0$은 $t=2^x\ (t>0)$로 두면 $t>0$ 범위를 빼먹으면 안 돼요.

부등식의 핵심은 방향이에요. 함수의 증감에 따라 달라져요.

• $a>1$ (증가) · $a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) > g(x)$ (부등호 그대로)
• $0<a<1$ (감소) · $a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) < g(x)$ (부등호 뒤집힘)

밑이 1보다 작으면 부등호가 돌아간다.

함수가 내려가는 모양이라 대소가 뒤집혀요. 로그부등식도 똑같고, 진수 조건($f(x)>0,\ g(x)>0$)을 교집합으로 걸어야 해요.

예: $\log_{1/2}(x-1) > -1$. 밑이 $\dfrac{1}{2}<1$.

• $-1=\log_{1/2} 2$ → $\log_{1/2}(x-1) > \log_{1/2} 2$ → 부등호 반전 → $x<3$
• 진수 조건 $x>1$ → $1<x<3$

$a^x=N \iff x=\log_a N$ 이 한 줄에서 전부 갈라져 나와요.

• 지수 확장 · 지수법칙 유지하며 정수→유리수→실수로. $a>0$, $a^0=1$, $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$, $a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$
• 로그 · '몇 제곱?'의 답. $a^{\log_a N}=N$.
• 성질 · 곱→합, 나눗셈→차, 지수→앞으로. 합·차는 못 쪼갬.
• 밑변환 · 밑이 섞이면 한 밑으로 통일
• 그래프 · 지수와 로그는 $y=x$ 대칭(역함수)
• 방정식 · 밑 맞추기 or 로그 씌우기 or 치환. 로그는 진수 조건 검산
• 부등식 · $0<a<1$이면 부등호 반전 + 진수 조건 교집합

막히면 무조건 "$a^x=N$"으로 되돌아가세요. 거기서 안 풀리는 문제는 이 단원에 없어요.