수열의 극한 개념정리

수열은 $a_1, a_2, a_3, \dots$ 처럼 번호를 붙인 수들의 줄이에요. 이 줄을 무한히 진행시키면 어떻게 될까요? 어떤 수열은 한 값으로 점점 빨려들고, 어떤 수열은 끝없이 커지고, 어떤 건 두 값 사이를 영원히 왕복해요.

핵심: 극한은 '도착점'이 아니라 '다가가는 경향'이에요.

$n$이 한없이 커질 때 $a_n$이 일정한 값 $L$에 한없이 가까워지면 수렴한다고 해요.

$\lim_{n\to\infty} a_n = L$

중요한 건 '가까워진다'는 뜻이에요. 아무리 작은 오차 범위를 잡아도, 충분히 뒤로 가면 그 안에 다 들어온다는 뜻이죠. 예를 들어 $a_n = \dfrac{1}{n}$은 1, 1/2, 1/3, ... 으로 0에 닿진 않지만 0으로 계속 붙어가요. 그래서 $\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0$. 닿느냐가 아니라 '한없이 가까워지냐'가 기준이에요.

수렴하지 않으면 발산이에요. 양의 무한대로 가거나, 음의 무한대로 가거나, $(-1)^n$처럼 진동해요. 진동도 엄연히 발산이라는 점을 잊지 마세요.

유리식 $\dfrac{2n^2+3n}{n^2-1}$ 같은 걸 계산할 때 무작정 대입하면 $\dfrac{\infty}{\infty}$가 나와요. 이건 못 푼다는 뜻이 아니라 더 정리해야 한다는 신호예요.

핵심은 간단해요. $n$이 커지면 차수가 높은 항이 전체를 지배해요. 그래서 분자·분모를 최고차항으로 나누면 작은 항들이 0으로 가요.

$\frac{2n^2+3n}{n^2-1} = \frac{2+\dfrac{3}{n}}{1-\dfrac{1}{n^2}} \;\xrightarrow{\,n\to\infty\,}\; \frac{2+0}{1-0} = 2$

패턴이 보여요. 분자·분모가 모두 다항식일 때는 차수를 비교하면 끝이에요.

• 분자 차수 > 분모 차수 → 발산
• 분자 차수 = 분모 차수 → 최고차항 계수의 비
• 분자 차수 < 분모 차수 → 0으로 수렴

무리식이 섞이면 켤레를 곱해 유리화하세요. $\sqrt{n^2+n}-n$ 같은 $\infty-\infty$ 꼴은

$\sqrt{n^2+n}-n = \frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n} \to \frac{1}{2}$

부정형이 보이면 '나누거나 유리화하거나' 둘 중 하나라는 감을 가지세요.

극한을 직접 못 구할 때, 양옆에서 조여 잡는 방법이 있어요. 이게 샌드위치 정리예요.

두 수열이 모두 수렴하고 항상 $a_n \le b_n$ 이면, 극한도 그 관계가 유지돼요.

$a_n \le b_n \;\Rightarrow\; \lim_{n\to\infty} a_n \le \lim_{n\to\infty} b_n$

그리고 결정적인 무기. 어떤 수열 $a_n$을 양쪽에서 끼운 두 수열 $b_n,\ c_n$이 같은 값으로 수렴하면, 가운데도 거기로 끌려가요.

$b_n \le a_n \le c_n,\quad \lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty} c_n = L \;\Rightarrow\; \lim_{n\to\infty} a_n = L$

양옆 벽이 같은 자리로 모이면 가운데는 도망갈 데가 없어요. $a_n = \dfrac{\sin n}{n}$을 예로 들면, $-1 \le \sin n \le 1$이니까

$-\frac{1}{n} \le \frac{\sin n}{n} \le \frac{1}{n}$

양옆이 모두 0으로 가니까 $\lim_{n\to\infty}\dfrac{\sin n}{n}=0$. 진동 성분이 들어오면 부등식으로 가둬라가 정답이에요.

수열을 끝없이 더하면 어떻게 될까요? 이게 급수예요.

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$

그런데 '무한히 더한다'는 말은 실제론 불가능해요. 그래서 수학은 부분합의 극한으로 정의해요.

$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n, \quad \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} S_n$

핵심: 급수도 결국 '극한' 문제예요. 앞 단원의 재활용이에요.

가장 중요한 건 수렴 판정 성질이에요. 급수가 수렴하면 반드시 $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$ 이어야 해요. 더해지는 항이 0으로 안 가면 무한히 쌓여서 발산하죠.

$\lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \;\Rightarrow\; \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ 은 발산}$

하지만 역은 거짓이에요. $a_n \to 0$ 이라고 급수가 수렴하는 건 아니에요. 조화급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$가 반례예요. 항은 0으로 가지만 합은 무한대로 발산해요.

급수 중에 깔끔하게 떨어지는 게 있어요. 바로 등비급수예요. 첫째항 $a$, 공비 $r$인 등비수열을 무한히 더한 거죠.

$\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = a + ar + ar^2 + \cdots \quad (a \ne 0)$

부분합을 보면

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r} \quad (r \ne 1)$

$|r|<1$이면 $r^n \to 0$이라서

$\lim_{n\to\infty} S_n = \frac{a(1-0)}{1-r} = \frac{a}{1-r}$

등비급수의 수렴과 합이 한 세트예요.

• 수렴 조건: $|r| < 1$ (즉 $-1 < r < 1$)
• 합: $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = \frac{a}{1-r}$

예를 들어 $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots$ 는 $a=1,\ r=\dfrac{1}{2}$ 라서 $\dfrac{1}{\,1-\frac{1}{2}\,} = 2$. 무한히 더했는데 정확히 2예요.

등비급수가 시험에서 어떻게 나오는지 보여줄게요. 핵심 패턴 세 가지예요.

1) 순환소수. $0.\overline{3} = 0.333\cdots$ 은 사실 등비급수예요.

$0.\overline{3} = \frac{3}{10} + \frac{3}{100} + \frac{3}{1000} + \cdots = \frac{\dfrac{3}{10}}{\,1-\dfrac{1}{10}\,} = \frac{1}{3}$

순환소수가 분수로 떨어지는 이유가 바로 이거예요.

2) 도형의 무한 반복. 정사각형 안에 작은 정사각형을 만들고 또 만들고... 이럴 때는 닮음비를 찾으세요. 매 단계 길이가 비율 $k$로 줄면 넓이는 $k^2$ 비율로 줄어요.

1단계 넓이가 $S_1$이고 매번 $\dfrac{1}{2}$배가 된다면

$\frac{S_1}{\,1-\dfrac{1}{2}\,} = 2S_1$

도형 문제 루틴 · 1단계 양 구하기 · 공비 구하기 · $\dfrac{a}{1-r}$ 에 대입. 이 세 박자만 기억하세요.

3) 부분분수 망원경 합. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n(n+1)}$ 같은 건 $\dfrac{1}{n(n+1)} = \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n+1}$ 로 쪼개면 가운데가 줄줄이 소거돼요.

$S_n = \left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1} \to 1$

급수 활용은 '등비냐 망원경이냐'를 알아보는 안목 싸움이에요.

이 단원을 한 줄기로 다시 꿰볼게요.

• 수열의 극한: $n\to\infty$일 때 다가가는 값. 유리식은 최고차항 비교, 무리식은 유리화.
• 극한의 대소: 직접 못 구하면 샌드위치 정리로 가둬라. 진동 성분이 보이면 부등식.
• 급수: $\sum a_n = \lim S_n$. 즉 부분합의 극한. 수렴하면 $a_n\to0$ (역은 거짓).
• 등비급수: $|r|<1$일 때만 수렴, 합은 $\dfrac{a}{1-r}$. 수렴 조건과 공식은 한 세트.
• 활용: 순환소수 · 도형 무한반복 · 부분분수 망원경.

모든 길은 '극한'으로 통해요. 급수도 부분합의 극한일 뿐이에요. 이 단원은 등차·등비수열 위에 무한을 얹은 거고, 여기서 나온 극한 감각이 함수의 극한·미적분으로 이어져요.