함수의 극한과 연속 개념정리

'도착'이 아니라 '다가감' · 0/0꼴·좌우극한·연속·사잇값정리를 한 결로.

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극한은 '도착'이 아니라 '다가감'이에요

극한의 핵심: 그 점에서의 값이 아니라, 그 점 근처에서 어떻게 행동하는지를 봐요. 기호 $\lim\limits_{x\to a} f(x) = L$ 은 " $x$ 를 $a$ 에 한없이 가깝게 보냈을 때 $f(x)$ 가 $L$ 에 다가간다"는 뜻이에요.

예: $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ 은 $x=1$ 에서 값이 없어요. 하지만 $x=0.99, 0.999, \ldots$ 처럼 1 근처를 보면 결과는 모두 2 근처예요. 이 '흐름의 목적지'가 극한이에요. 이 관점이 미분의 출발점이에요.

좌극한·우극한 · 양쪽에서 같은 곳에 모여야 해요

$x$ 가 $a$ 로 다가가는 길은 두 개예요. 왼쪽에서 오는 길과 오른쪽에서 오는 길.

극한이 존재하려면 좌극한 = 우극한이어야 해요.

왼쪽에서 3에 모이는데 오른쪽에서 5에 모이면 극한이 없어요. 짧은 예: $f(x)=\dfrac{|x|}{x}$ 는 $x>0$ 일 때 $1$ , $x<0$ 일 때 $-1$ 이에요. 그래서 $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{|x|}{x}$ 는 없어요. 절댓값이나 가우스기호 같은 신호가 보이면 무조건 좌·우를 따로 따져야 해요.

0/0꼴 · '없애야 할 0'을 찾아 약분하는 게 전부예요

대입했더니 $\dfrac{0}{0}$ 이 나오면 분모·분자에 공통으로 숨은 $(x-a)$ 를 찾아 없애세요.

다항식: 인수분해 후 약분 / 루트: 켤레를 위아래 곱하기

예: $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x^2-1}{x-1} = \lim\limits_{x\to 1}\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim\limits_{x\to 1}(x+1) = 2$

루트 예: $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ 는 켤레를 곱하면 분자가 $(x+1)-1=x$ 가 되고, 약분 후 $\to \dfrac{1}{2}$ 예요.

극한의 성질과 미정계수 · 거꾸로 읽는 기술

극한은 합·차·곱·몫에 대해 분배돼요: $\lim f \pm \lim g$ , $\lim f \cdot \lim g$ , $\dfrac{\lim f}{\lim g}$ .

시험의 진짜 포인트는 거꾸로 쓰는 거예요.

분모가 0으로 가는데 극한값이 유한하면, 분자도 반드시 0으로 가야 해요.

왜냐면 분모 $\to 0$ 인데 분자가 0이 아니면 $\pm\infty$ 로 발산하니까요. 유한한 값으로 수렴하려면 분자도 0이 되어야 해요. 예: $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x^2+ax+b}{x-1}=3$ 이면 분모가 0이고 극한이 유한하니 분자도 $x=1$ 에서 0이어야 해요. 즉 $1+a+b=0$ 이에요.

연속 · 극한값과 함숫값이 '딱 맞아떨어질 때'예요

함수 $f$ 가 $x=a$ 에서 연속이려면 세 가지가 다 성립해야 해요.

$f(a)$ 가 정의돼 있다
$\lim\limits_{x\to a} f(x)$ 가 존재한다
그 둘이 같다: $\lim\limits_{x\to a} f(x) = f(a)$

한 줄로: 연속 = 펜을 떼지 않고 그릴 수 있다 = 다가가는 값과 실제 값이 일치

예: $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-1}{x-1} & (x\neq1)\\ k & (x=1)\end{cases}$ 가 $x=1$ 에서 연속이려면? 극한은 2이니 $k=2$ 여야 해요.

사잇값정리 · 연속이면 '중간값은 반드시 거쳐 간다'

연속함수의 가장 강력한 무기가 사잇값정리예요.

$f$ 가 $[a,b]$ 에서 연속이고 $f(a) \neq f(b)$ 이면, 그 사이의 임의의 값 $k$ 에 대해 $f(c)=k$ 인 $c$ 가 $a$ 와 $b$ 사이에 적어도 하나 존재해요.

시험 핵심은 방정식의 실근 존재 증명이에요. $f(a)$ 와 $f(b)$ 의 부호가 다르면(곱이 음수), 0은 그 사이에 있으니 근이 존재해요. 예: $f(x)=x^3-x-1$ 에서 $f(1)=-1 < 0$ , $f(2)=5 > 0$ 이니 $(1,2)$ 사이에 근이 있어요.

한눈 요약 · 다가감에서 사잇값까지

이 단원은 **'다가간다'**는 한 줄기로 꿰여 있어요.

극한: $x\to a$ 일 때 $f(x)$ 가 향하는 목적지 → 미분의 토대
좌·우극한: 양쪽이 같을 때만 극한 존재
0/0꼴: 공통 인수 제거 후 대입
미정계수: 분모 $\to0$ + 극한 유한 ⇒ 분자도 $\to0$
연속: ① 정의 ② 극한 존재 ③ 극한 = 함숫값
사잇값정리: 연속 + 부호 반대 ⇒ 근 존재

앞뒤 연결: 함수의 성질이 극한을 만들고, 극한이 다음 단원의 미분으로 이어져요.

풀이 꿀팁

🎯 출제 포인트 · 미정계수는 무조건 한 문제

$\lim\limits_{x\to a}\dfrac{(\text{분자})}{(\text{분모})}=(\text{유한값})$ 꼴이 보이면 반사적으로 **"분모 0 → 분자도 0"**부터 적어요. 분모에 $x-a$ 가 있으면 분자에 $x=a$ 대입한 게 0이라는 식 하나가 공짜로 나와요. 미정계수 $a,b$ 구하는 문제는 거의 매 시험 출제되고, 이 한 줄로 절반이 풀려요. 반대로 극한값이 0이 아닌데 분모가 무한대로 가면 분자도 같은 차수로 가야 한다는 것도 세트로 기억해요. 답 구한 뒤 $1+a+b=0$ 같은 '분자=0' 식에 다시 넣어 검산하면 부호 실수가 잡혀요.

⚡ 빠른 풀이 · 무리식은 켤레, $\infty/\infty$는 최고차로

루트가 낀 0/0은 무조건 켤레 곱하기 한 방이에요. $\sqrt{A}-\sqrt{B}$ 보이면 $\sqrt{A}+\sqrt{B}$ 를 위아래 곱해서 루트를 깨면 끝. 그리고 $x\to\infty$ 에서 $\dfrac{\text{다항}}{\text{다항}}$ 은 분모의 최고차항으로 분모·분자를 통째로 나눠요. 그러면 분모·분자 최고차 계수의 비만 살아남아요. 예: $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{3x^2+5}{2x^2-x}=\dfrac{3}{2}$ . 차수가 위가 크면 발산, 아래가 크면 0, 같으면 계수비 · 3초컷이에요.

⚠️ 여기서 다 틀려 · $x=a$ 값과 극한값 헷갈림

가장 많이 틀리는 함정: $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ 와 $f(a)$ 는 다른 거예요. 그래프 문제에서 $x=a$ 에 점이 따로 찍혀 있어도 극한은 그 점을 무시하고 '근처 흐름'만 봐요. 또 좌우극한이 다른데 성급하게 극한값을 적는 실수, 절댓값/가우스기호에서 부호 안 나누고 통째로 대입하는 실수가 단골이에요. 점프·꺾임·구간 경계가 보이면 무조건 좌극한·우극한 따로 계산하고 같은지 확인하는 습관을 들여요.

🧠 강의 꿀팁 · 연속은 '펜 안 떼기', IVT는 '부호 싸움'

연속 세 조건 외우기 힘들면 "펜 떼지 않고 그릴 수 있나?" 한 문장이면 돼요. 구멍( $f(a)$ 없음), 점프(좌우 다름), 무한대(튐) 셋 다 펜을 떼야 하니 불연속이죠. 사잇값정리로 근의 존재를 보일 땐 $f(a)\cdot f(b)<0$ (부호가 반대) 한 줄만 만들면 끝나요. 값을 구하라는 게 아니라 '있다'만 보이는 문제예요. '연속'이라는 조건을 빠뜨리면 0점이니, 증명 첫 줄에 " $f$ 는 (다항함수라) 연속"을 꼭 박고 시작해요.

⚡ 빠른 풀이 · 그래프 합성·곱 극한은 좌우 표로

$\lim f(x)g(x)$ 나 합성 $\lim f(g(x))$ 처럼 그래프 두 개가 엮인 문제는 머리로 굴리지 말고 좌극한/우극한을 작은 표로 적어요. $x\to a^-$ 일 때 $f,g$ 각각의 값, $x\to a^+$ 일 때 각각의 값을 칸에 채우고 곱하거나 합성해요. 특히 합성에서는 안쪽 $g(x)$ 가 어떤 값으로, 위에서 다가가는지 아래에서 다가가는지까지 봐야 바깥 $f$ 의 좌·우가 갈려요. 이 '안쪽 방향까지 추적'이 고난도 문제의 승부처예요.