방정식과 부등식 개념정리

$x^2+1=0$을 풀어보면 실수 안에서는 답이 없어요. 어떤 실수를 제곱해도 음수가 안 되니까요. 그래서 수학은 새로운 수를 만들기로 했어요. 그게 허수단위 $i$, 즉 $i^2=-1$이라는 약속이에요.

이제 모든 수를 $a+bi$ (단, $a, b$는 실수) 꼴로 쓸 수 있어요. 이게 복소수죠. $a$는 실수부, $b$는 허수부예요.

켤레복소수 $\overline{a+bi}=a-bi$는 실수부는 같고 허수부 부호만 다른 짝이에요. 곱하면 $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$로 실수가 돼요. 분모에 허수가 있을 때 이 성질을 써서 유리화해요.

이 확장 덕분에 모든 이차방정식이 복소수 범위에서 근을 가져요. 실수에서 '답 없음'이던 게 사라지는 거죠.

$i$를 계속 제곱하면 패턴이 보여요. $i^1=i,\; i^2=-1,\; i^3=-i,\; i^4=1$ 이렇게 4개 주기로 뱅글뱅글 돈다는 거죠.

핵심: $i^n$은 지수를 4로 나눈 나머지만 보면 끝나요.

예: $i^{2026}$이면 $2026=4\times 506+2$이므로 $i^{2026}=i^2=-1$.

켤레도 '허수부 부호 뒤집기'로 직관화하면, 합·곱이 자연스럽게 따라와요.

• $\overline{\alpha+\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta}$, $\overline{\alpha\beta}=\overline{\alpha}\,\overline{\beta}$
• $\alpha+\overline{\alpha}=2a$ (실수), $\alpha\overline{\alpha}=a^2+b^2$ (양수)

이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 근을 풀 때 운명을 가르는 건 루트 안, 즉 $b^2-4ac$ 한 덩어리예요. 이걸 판별식 $D$라고 불러요.

핵심: $D$의 부호 하나로 근의 종류를 미리 알 수 있어요.

• $D>0$ : 서로 다른 두 실근
• $D=0$ : 중근(서로 같은 두 실근)
• $D<0$ : 서로 다른 두 허근 (실계수면 켤레 한 쌍)

예를 들어 $x^2-4x+5=0$은 $D=16-20=-4<0$이라 풀기도 전에 '허근 두 개'임이 보이고, 실제로 $x=2\pm i$로 켤레 짝이 나와요.

참고로 $b$가 짝수면 $\frac{D}{4}=b'^2-ac$로 계산하면 숫자가 작아져 실수가 줄어요.

이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 두 근을 $\alpha,\,\beta$라 할 때:

$\alpha+\beta=-\frac{b}{a},\qquad \alpha\beta=\frac{c}{a}$

핵심: 근을 직접 구하지 않고 근들의 합·곱을 바로 읽는 도구예요.

유도도 간단해요. 좌변을 인수분해하면 $a(x-\alpha)(x-\beta)$가 되고, 전개해서 계수를 비교하면 위 식이 나와요. 근을 구하지 않고도 $\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$ 처럼 대칭식을 계수로 바꿀 수 있죠.

예: $x^2-5x+3=0$이면 $\alpha+\beta=5,\ \alpha\beta=3$이라 $\alpha^2+\beta^2=25-6=19$. 근 $\frac{5\pm\sqrt{13}}{2}$를 직접 제곱하는 끔찍한 계산을 통째로 건너뛸 수 있어요.

여기가 단원 전체의 허브예요. $ax^2+bx+c=0$을 단순한 식이 아니라 포물선 $y=ax^2+bx+c$가 $x$축과 만나는 자리로 봐요.

핵심: 방정식의 실근 = 그래프와 $x$축의 교점의 $x$좌표예요.

표준형 $y=a(x-p)^2+q$로 고쳐서 꼭짓점 $(p,\,q)$와 대칭축 $x=p$를 빨리 읽는 훈련이 중요해요. $p=-\dfrac{b}{2a}$, $q=-\dfrac{D}{4a}$인데, 꼭짓점의 높이 $q$ 안에 또 $D$가 숨어 있다는 게 포인트예요. $a>0$이면 아래로 볼록(최솟값 $q$), $a<0$이면 위로 볼록(최댓값 $q$)이죠.

$ax^2+bx+c>0$을 푼다는 건, 포물선이 $x$축보다 위에 있는 $x$의 범위를 찾는 거예요. 부등식을 '계산'이 아니라 '그림 위에서 위/아래'로 바꾸는 순간 끝나요.

핵심: 부등식 풀이 = 그래프를 그리고 축 위/아래 구간 읽기.

$a>0$이고 두 실근 $\alpha<\beta$가 있을 때 (아래로 볼록):

• $ax^2+bx+c>0$ → $x<\alpha$ 또는 $x>\beta$ (바깥쪽)
• $ax^2+bx+c<0$ → $\alpha<x<\beta$ (안쪽)

'모든 $x$에서 $ax^2+bx+c>0$'은 곧 '$a>0$ 이고 $D<0$'이에요. 부등식 조건이 판별식 조건으로 순식간에 번역되죠.

연립부등식은 각 부등식을 따로 푼 뒤 **겹치는 구간(교집합)**만 답으로 남겨요. 새로운 이론이 없고, '그리고'인지 '또는'인지만 끝까지 의식하면 돼요.

절댓값 부등식은 절댓값을 '0으로부터의 거리'로 읽으면 공식이 필요 없어요.

• $|x|<a$ ($a>0$) → $-a<x<a$ (원점에서 가까운 안쪽)
• $|x|>a$ ($a>0$) → $x<-a$ 또는 $x>a$ (먼 바깥쪽)
• $|x-c|<a$ ($a>0$) → $c-a<x<c+a$ ('$c$에서 $a$ 이내')

예: $|x-3|\le 2$는 '3에서 2 이내'라서 그냥 $1\le x\le 5$. 부호 나눠 풀 필요 없이 수직선에서 바로 읽혀요.

이 단원은 하나의 줄기예요.

• 복소수: 실수로 안 풀리던 방정식에 $i^2=-1$을 더해 모든 이차방정식이 근을 갖게 만든 확장
• 판별식 $D$: 근의 종류를 보는 신호등. $D>0$ 두 실근, $D=0$ 중근, $D<0$ 허근
• 근과 계수: $\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a},\ \alpha\beta=\dfrac{c}{a}$. 근을 안 구하고 근을 다루는 도구
• 이차함수 그래프: 방정식·부등식을 '$x$축과의 위치'로 번역하는 허브
• 이차부등식: $y$의 부호 = 축 위/아래 구간

한 줄 정리: $D$의 부호와 포물선 한 장이면 이 단원의 거의 모든 문제가 같은 그림으로 풀려요.