경우의 수 개념정리

합·곱의 법칙에서 순열·조합까지, 순서를 따지냐로 갈리는 세는 구조.

경우의 수합의 법칙 곱의 법칙순열조합공통수학1 개념정리

왜 경우의 수를 배울까

'몇 가지 방법이 있을까?'를 하나씩 세지 않고 계산으로 알아내는 게 경우의 수예요. 4자리 비밀번호는 벌써 $10^4 = 10000$ 가지인데, 손으로 세면 한계가 와요.

이 단원 전체를 관통하는 질문은 단 두 개예요 · ① 더하나 곱하나(+ vs ×), ② 순서를 따지나 버리나(P vs C).

공식을 외우기 전에 '이 상황은 더하기인가 곱하기인가', '순서가 의미 있나 없나'를 판단하는 감각부터 잡는 게 먼저예요.

합의 법칙 vs 곱의 법칙 · 더하기와 곱하기의 갈림길

두 법칙을 가르는 기준은 딱 하나, 두 사건이 동시에 일어날 수 있는가예요.

합의 법칙: 두 사건이 동시에 일어나지 않을 때(둘 중 하나만 고르기). A가 $m$ 가지, B가 $n$ 가지면 → $m+n$ 가지
곱의 법칙: 두 사건이 잇따라 함께 일어날 때(A도 하고 B도 하기). A가 $m$ 가지, 각각에 B가 $n$ 가지면 → $m \times n$ 가지

"또는"은 더하기, "그리고"는 곱하기. 문장 속 연결어가 신호등이에요.

곱의 법칙은 사실 합의 법칙을 압축한 것이에요. A의 경우 각각마다 B가 $n$ 가지씩 따라붙으니, $m \times n$ 이 되는 거죠.

주의할 점 하나 · 합의 법칙은 겹치는 게 없어야 그대로 써요. 겹치면 그만큼 빼줘야 합니다: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ .

순열 · 순서가 '있는' 줄 세우기

서로 다른 $n$ 개에서 $r$ 개를 뽑아 순서대로 나열하는 게 순열이에요. 곱의 법칙을 끝까지 밀어붙인 거죠.

$_n\mathrm{P}_r = n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1) = \frac{n!}{(n-r)!}$

첫 자리에 올 수 있는 게 $n$ 가지, 다음 자리는 $n-1$ 가지, 이렇게 $r$ 개 자리를 곱해 나가요. 끝항이 $n-r+1$ 인 이유도 구조로 보이죠 · $r$ 번째 자리니까 $n$ 에서 $(r-1)$ 만큼 줄어든 값이거든요.

순열의 핵심은 순서를 따진다는 것. 'AB'와 'BA'는 서로 다른 것이에요.

조합 · 순서를 '버린' 뽑기

서로 다른 $n$ 개에서 $r$ 개를 순서 없이 그냥 고르기만 하는 게 조합이에요. 순열에서 '순서를 따진 만큼'을 도로 나눠주면 됩니다.

$_n\mathrm{C}_r = \frac{_n\mathrm{P}_r}{r!} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$

같은 $r$ 개 묶음을 순서대로 늘어놓는 방법이 $r!$ 가지인데, 조합에서는 이 $r!$ 가지를 전부 한 가지로 보기 때문이에요. 즉 '순서를 죽이는 비용'이 $r!$ 인 거죠.

줄을 세우면 순열, 한 봉지에 담으면 조합. 순서가 의미 있으면 P, 없으면 C.

유용한 성질: $_n\mathrm{C}_r = {}_n\mathrm{C}_{n-r}$ (뽑을 $r$ 개를 고르는 거나 버릴 $n-r$ 개를 고르는 거나 같음).

실전 분류 세기 · 경우를 '나눠서' 정복하기

실제 문제는 공식 하나로 안 끝나요. 복잡한 상황을 겹치지 않는 경우로 쪼개서, 각 경우를 세운 뒤 더하는 거예요.

쪼개는 기준은 보통 **'가장 까다로운 조건'**을 잡아요.

이웃·묶음: 붙어 있어야 하면 → 한 덩어리로 보고 배열한 뒤, 덩어리 내부 순서를 곱하기
자리 제한: 맨 앞이 0이 못 오면 → 제한된 자리부터 먼저 채우기
여사건: '적어도 하나'가 보이면 → 전체에서 '하나도 없는' 경우를 빼기

막히면 '까다로운 것 먼저, 자유로운 것 나중'.

자주 막히는 곳

합·곱 헷갈림: 항상 "이 둘이 동시에 일어나?" 를 먼저 물어보세요.
순열 vs 조합: 회장·부회장 뽑기는 순서 있음 → 순열, 대표 2명 뽑기는 순서 없음 → 조합. **'자리에 이름표(역할)가 붙나'**로 판단하면 깔끔해요.
빠짐과 겹침: 경우를 나눠 셀 땐 '서로 안 겹치게' 나눠야 합의 법칙을 쓸 수 있어요.
이웃 조건에서 내부 순서 빼먹기: 덩어리로 묶었으면 덩어리 안 순서도 곱해야 해요.
$0!=1$ 잊기: $_n\mathrm{C}_n = 1$ , $_n\mathrm{C}_0 = 1$ 이 되려면 반드시 필요한 약속이에요.

한눈 요약

합의 법칙: 또는(동시 X) → $m+n$ . 겹치면 $-n(A\cap B)$ .
곱의 법칙: 그리고(동시 O) → $m \times n$ .
순열: 순서 O, $_n\mathrm{P}_r = \dfrac{n!}{(n-r)!}$ .
조합: 순서 X, $_n\mathrm{C}_r = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$ .
실전 분류: 까다로운 조건으로 경우를 쪼갠다 → 각각 세기 → 더하기. '적어도'는 여사건.

모든 문제는 더하기/곱하기, 그다음 순서를 따지나 버리나, 마지막이 어떻게 쪼개나로 시작해요.

풀이 꿀팁

🎯 출제 포인트 · ‘적어도’ 나오면 여사건

문제에 ‘적어도 하나’, ‘최소 한 개’ 가 보이면 정면 돌파하지 말고 거의 무조건 여사건이에요. "적어도 1개 = (전체) − (하나도 없음)".

동전 5번 던져 앞면이 적어도 한 번 나오는 경우? 전체 $2^5=32$ 에서 전부 뒷면 1가지를 빼서 $32-1=31$ . 정면으로 ‘1번, 2번, …, 5번’ 다 더하면 시간 다 날려요. ‘적어도’ = 빼기, 반사적으로 떠올리세요.

⚡ 빠른 풀이 · 조합은 작은 쪽으로 뒤집어라

$_n\mathrm{C}_r = {}_n\mathrm{C}_{n-r}$ 를 계산 단축에 쓰세요. $_{100}\mathrm{C}_{98}$ 을 98개 곱하지 말고 $_{100}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{100 \times 99}{2} = 4950$ 으로 뒤집으면 암산 끝.

그리고 조합은 약분 먼저, 곱셈 나중. $_7\mathrm{C}_3 = \dfrac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1}$ 에서 $6 = 3 \times 2$ 를 분모와 먼저 지우면 $7 \times 5 = 35$ . 큰 수 곱해 놓고 나누면 실수만 늘어요.

⚠️ 여기서 다 틀려 · 순열인데 조합으로

역할·등수·자리 이름이 있으면 순서가 살아있는 순열이에요. 학생들이 ‘뽑는다’는 말만 보고 무조건 조합 $C$ 로 가다 절반이 틀려요.

대표 2명 뽑기 → 순서 X → $_n\mathrm{C}_2$
회장·부회장 뽑기 → 역할 다름 → 순서 O → $_n\mathrm{P}_2$ (조합의 $2!$ 배!)

판별법: 두 명을 서로 맞바꿨을 때 다른 상황이면 순열. 회장↔부회장 바꾸면 다른 결과니 순열, 그냥 대표면 같으니 조합.

🧠 강의 꿀팁 · 묶고 풀고(이웃), 끼우기(이웃X)

이웃해야 함 → "한 덩어리로 묶어 세우고, 덩어리 안에서 또 세운다". 묶음을 하나로 보고 배열한 뒤 반드시 내부 $\square!$ 를 곱하기(이거 빼먹는 게 1등 실수).

이웃하면 안 됨 → "나머지 먼저 세우고 사이사이 틈에 끼운다". 안 붙는 것들을 먼저 일렬로 놓으면 양 끝·사이에 틈이 생기는데, 그 틈에 나머지를 $\mathrm{P}$ 로 꽂아요. "붙이려면 묶고, 떼려면 끼운다" 한 쌍으로 기억하세요.

🎯 출제 포인트 · 0이 맨 앞 못 오는 자연수

$0,1,2,3,4$ 같은 숫자로 세 자리 자연수 만들기는 단골 출제예요. 함정은 맨 앞자리에 0이 못 온다는 것.

제한 있는 백의 자리부터 먼저 채워요: 0 빼고 4가지. 십의 자리는 0 포함 남은 4가지, 일의 자리 3가지 → $4 \times 4 \times 3 = 48$ 개. 제한 조건 자리를 먼저, 자유로운 자리를 나중에 · 순서만 지키면 안 틀려요. (전체 $-$ 0이 맨 앞인 경우, 로 빼도 같은 답)