함수와 그래프 개념정리

'대응'과 '기본형 평행이동' 두 구조로 합성·역함수·유리/무리함수까지.

함수와 그래프일대일대응합성함수역함수유리함수와 무리함수공통수학2 개념정리

왜 함수를 따로 배울까 · 식에서 '대응'으로

지금까지 식은 계산하는 대상이었어요. 함수부터는 식을 하나의 기계로 봐요. 입력 $x$ 를 넣으면 정해진 규칙대로 출력 $y$ 가 딱 하나 튀어나오는 장치죠.

함수는 정의역의 각 원소에 공역의 원소를 '딱 하나씩' 짝지어 주는 대응이에요.

여기서 막히는 핵심은 오직 '딱 하나'예요. (1) 정의역의 모든 원소가 빠짐없이 짝을 가져야 하고, (2) 한 원소가 둘 이상과 짝지으면 안 돼요.

그래프로는 세로선 판정으로 확인해요. 세로선( $x=$ 상수)이 항상 한 점에서만 만나면 함수예요.

정의역·치역, 그리고 '같은 함수'의 진짜 뜻

함수를 제대로 다루려면 세 집합을 구분해야 해요.

정의역(domain) · 입력 $x$ 가 사는 집합
공역(codomain) · 출력이 머물 수 있는 후보 집합
치역(range) · 실제로 나오는 출력만 모은 집합

두 함수가 '같다'는 건:

$f=g$ $\iff$ 정의역이 같고, 모든 $x$ 에서 $f(x)=g(x)$

식이 같아도 정의역이 다르면 다른 함수예요. 예를 들어 $f(x)=x$ 와 $g(x)=\dfrac{x^2}{x}$ 는 다른 함수예요. $g$ 는 $x=0$ 을 넣을 수 없거든요. 함수를 비교할 땐 정의역 + 대응을 함께 봐야 해요.

일대일대응 · 역함수의 입장권

함수 중에서 성질이 좋은 두 종류를 구분해야 해요. 이게 역함수 존재 여부를 가르거든요.

일대일함수 · 서로 다른 입력은 서로 다른 출력으로 간다. 즉 $x_1\ne x_2 \Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$ .
일대일대응 · 일대일함수이면서 치역=공역.

그래프로는 가로선 판정으로 확인해요. 가로선이 항상 한 점 이하에서만 만나면 일대일이에요.

순증가하거나 순감소하면 자동으로 일대일이에요. 이 직관이 역함수 존재 판단의 대부분을 해결해요.

합성함수 · 기계를 이어 붙이기

$f$ 라는 기계를 통과시킨 결과를 다시 $g$ 에 넣는 게 합성이에요. $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ .

읽는 순서와 작동 순서가 반대예요. $g\circ f$ 는 ' $f$ 먼저, $g$ 나중'.

$f(x)=x+1$ , $g(x)=x^2$ 이면 $(g\circ f)(2)=g(3)=9$ , $(f\circ g)(2)=f(4)=5$ . 결과가 달라요. ** $g\circ f \ne f\circ g$ **예요.

제일 많이 틀리는 두 가지:

순서를 바꿔도 된다고 착각 · 거의 항상 달라요.
연결 조건을 빠뜨림 · $f$ 의 치역이 $g$ 의 정의역 안에 들어가야 해요.

단, 결합법칙 $h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f$ 는 성립해요.

역함수 · 기계를 거꾸로 돌리기

역함수 $f^{-1}$ 은 $f$ 가 한 일을 되돌리는 함수예요. $f$ 가 $a\to b$ 로 보냈다면 $f^{-1}$ 은 $b\to a$ 로 되돌려요. 항상 $f^{-1}(f(x))=x$ , $f(f^{-1}(x))=x$ 가 성립해요.

역함수가 존재할 조건은 $f$ 가 일대일대응일 때뿐이에요.

절차는 간단해요: (1) $y=f(x)$ 에서 $x$ 에 대해 풀고 (2) $x$ 와 $y$ 를 맞바꿔요.

구조에서 따라오는 성질:

$f^{-1}$ 의 정의역 = $f$ 의 치역, 역방향도 성립
그래프는 직선 $y=x$ 에 대해 대칭
$(f^{-1})^{-1}=f$
$(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$

교점 지름길은 $f$ 가 순증가일 때만 · 이때 교점을 찾으려면 $f(x)=x$ 를 풀면 돼요.

유리함수·무리함수 · 전부 '기본형의 평행이동'

두 함수도 기본형 + 이동으로 보면 단번에 단순해져요.

유리함수 $y=\dfrac{k}{x-p}+q$ (단, $k\ne 0$ )

기본형 $y=\dfrac{k}{x}$ 를 $x$ 축으로 $p$ , $y$ 축으로 $q$ 만큼 옮긴 거예요. 점근선은 $x=p,\ y=q$ , 대칭의 중심도 $(p,q)$ 예요.

$y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ 꼴은 분자를 분모로 나눠 변형하세요: $y=\frac{2x+3}{x+1}=2+\frac{1}{x+1}$

바로 점근선이 보이죠? 무리함수 $y=\sqrt{a(x-p)}+q$ 도 마찬가지예요. 근호 안이 0 이상이어야 하므로 정의역에 제한이 생겨요. $(p,q)$ 에서 시작하는 반쪽 곡선이에요.

점근선·정의역은 외우는 게 아니에요. 분모가 0인 곳, 근호 안이 음수인 곳만 따지면 자동으로 나와요.

한눈 요약 · 두 문장으로 압축

함수는 '대응', 그래프는 '기본형의 이동'. 외울 게 거의 없어요.

함수 · 입력 하나에 출력 하나 (세로선 판정). 정의역이 빠짐없이 짝지어짐.
같은 함수 · 정의역이 같고 모든 $x$ 에서 함숫값이 같음.
일대일대응 · 일대일 + 치역=공역 → 역함수 입장권
합성 $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ · 안쪽 먼저, 순서 바뀌면 결과 달라짐, 결합법칙 성립
역함수 · 일대일대응일 때만 존재, $y=x$ 대칭, 정의역·치역 뒤바뀜
유리함수 $y=\dfrac{k}{x-p}+q$ · 점근선 $x=p,\ y=q$ (나눗셈으로 변형)
무리함수 $y=\sqrt{a(x-p)}+q$ · 근호 안 $\ge 0$ 으로 정의역 제한, 시작점 $(p,q)$ 의 반쪽 곡선

여기서 익힌 역함수( $y=x$ 대칭) 감각은 다음 학년의 지수·로그 함수(서로 역함수)에서 다시 등장해요.

풀이 꿀팁

🎯 출제 포인트 · 합성·역함수 '값 구하기'는 무조건 한 문제

$f(x)=2x+1$ , $g(x)=x^2-3$ 처럼 함수 두 개 주고 $(f\circ g)(2)$ , $(g\circ f)^{-1}(a)$ 같은 특정 값을 묻는 문제는 내신·모의고사 단골이에요. 정승제식 핵심: 합성은 안쪽부터, 역함수는 '거꾸로 사고'. $(g\circ f)^{-1}(5)$ 를 묻는다고 역함수 식을 통째로 구하지 마세요. $(g\circ f)(x)=5$ 가 되는 $x$ 를 찾으면 그게 답이에요. 식 안 구하고 방정식 하나로 끝나요.

⚡ 빠른 풀이 · 유리함수 점근선은 '나눗셈 한 줄'로 끝

$y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ 점근선, 표준형으로 일일이 안 고쳐도 돼요. 세로 점근선은 분모=0, 즉 $x=-\dfrac{d}{c}$ . 가로 점근선은 최고차항 계수비, 즉 $y=\dfrac{a}{c}$ . 예로 $y=\dfrac{3x-1}{x+2}$ 는 보자마자 $x=-2,\ y=3$ . 암산 3초예요. 대칭의 중심도 두 점근선의 교점 $\left(-\dfrac{d}{c},\ \dfrac{a}{c}\right)$ 로 바로 찍어요. (단, 진짜 유리함수가 되려면 $ad-bc\ne 0$ .)

⚠️ 여기서 다 틀려 · 무리함수 '범위 함정' 3종

무리함수는 정의역·치역 제한에서 점수가 새요. 셋만 조심하세요. ① $y=\sqrt{ax+b}$ 는 근호 안 $\ge 0$ 이라 정의역이 반쪽, 전체 실수 아니에요. ② 치역도 한쪽뿐 · $y=\sqrt{x}$ 는 $y\ge 0$ 만 나와요. 그래서 $y=2-\sqrt{x}$ 같은 건 $y\le 2$ 예요. ③ 무리방정식 $\sqrt{x+2}=x$ 풀 때 양변 제곱하면 가짜 해가 섞여요. 반드시 원식에 검산 + 양변 모두 $\ge 0$ 조건 확인! 제곱은 정보를 잃는 연산이라는 걸 잊지 마세요.

⚠️ 여기서 다 틀려 · '같은 함수'와 합성 정의역

두 곳에서 정의역을 놓쳐요. (1) $f(x)=x$ vs $g(x)=\dfrac{x^2}{x}$ 처럼 약분하면 같아 보이는 함수 · 뒤는 $x\ne 0$ 이라 다른 함수예요. (2) 합성 $g\circ f$ 의 정의역은 $f$ 의 정의역에서 시작하되, $f$ 의 치역이 $g$ 의 정의역에 들어가야 해요. 무리·유리 합성에서 '근호 안 $\ge0$ ', '분모 $\ne0$ '을 합성 후가 아니라 단계마다 챙겨야 빠뜨리지 않아요.

🧠 강의 꿀팁 · 역함수는 '거울 $y=x$', 그래프로 외워라

역함수 성질을 식으로 외우지 마세요. 머릿속에 직선 $y=x$ 거울 하나 세우면 다 나와요. 점 $(a,b)$ 가 $f$ 위 → 거울에 비추면 $(b,a)$ 가 $f^{-1}$ 위. 그래서 정의역↔치역 뒤바뀜, 그래프 $y=x$ 대칭이 그림 하나로 설명돼요. 교점 지름길은 순증가일 때만 · 이때 교점은 $f(x)=f^{-1}(x)$ 말고 ** $f(x)=x$ **를 풀면 끝나요. 순감소면 $y=x$ 밖 교점이 있으니 함정! 양말·신발(신은 역순으로 벗기)로 $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$ 까지 한 번에 기억하세요.