미분법 개념정리

수학Ⅱ에서 미분은 사실 다항함수뿐이었어요. $x^n$만 내려서 곱하면 끝이었죠. 그런데 세상의 변화율은 다항함수로만 표현되지 않아요. 인구·세포는 지수함수, 진동·파동은 삼각함수로 변해요.

이 단원은 '미분할 줄 아는 함수의 목록'을 폭발적으로 늘리는 일이에요.

매 함수마다 정의 $f'(x)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$로 계산하면 너무 힘들어요. 그래서 두 갈래로 가요.

• 기본 도함수: 지수·로그·삼각함수 각각의 공식
• 조립 규칙: 곱·몫·합성으로 묶인 함수를 미분하는 법

이 두 개만 손에 쥐면, 복잡한 함수도 '분해 → 규칙 적용'으로 미분할 수 있어요. 그 도함수로 그래프를 그리는 것까지가 목표예요.

지수함수 $y=a^x$를 정의로 미분하면 $f'(x)=a^x\cdot\lim_{h\to 0}\frac{a^h-1}{h}$

도함수가 자기 자신 $a^x$에 어떤 상수배가 돼요. 이 상수가 1이 되는 특별한 밑이 바로 **$e$**예요.

$e$는 '미분해도 자기 자신이 나오는' 유일한 밑이에요.

그래서 가장 깔끔한 공식이 나와요.

• $(e^x)'=e^x$ · 미분해도 변하지 않아요
• $(a^x)'=a^x\ln a$ · 밑이 $e$가 아니면 $\ln a$가 붙어요
• $(\ln x)'=\dfrac{1}{x}$
• $(\log_a x)'=\dfrac{1}{x\ln a}$

로그 공식의 직관 · $\ln x$는 $e^x$의 역함수예요. 역함수의 미분은 '기울기를 뒤집는 것'이라, 점 $(x,y)$에서 $e^x$의 기울기가 $y$이면 $\ln x$의 기울기는 그 역수 $\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x}$가 돼요.

예시 · $f(x)=2^x$일 때 $f'(x)=2^x\ln 2$. $x=3$에서 기울기는 $8\ln 2$예요. 밑이 $e$가 아니라서 $\ln 2$가 따라붙어요.

삼각함수 미분의 뿌리는 **$\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$**이라는 극한 하나예요. 이걸 정의에 넣으면 $(\sin x)'=\cos x$가 나와요.

$\sin\to\cos\to-\sin\to-\cos\to\sin$, 네 번 미분하면 제자리로 돌아오는 순환이에요.

• $(\sin x)'=\cos x$
• $(\cos x)'=-\sin x$ (부호 주의)
• $(\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^2 x}$

$\tan$ 공식은 외우지 말고 몫의 미분으로 유도하세요. $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$이니 $(\tan x)'=\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cos^2 x}$

분자가 1로 깔끔히 정리되는 게 핵심이에요. 주의할 점은 각이 라디안일 때만 이 공식들이 성립한다는 거예요.

가장 흔한 착각 · $(fg)'\ne f'g'$예요. 미분은 곱에 대해 그냥 분배되지 않아요. 왜냐면 $f(x)g(x)$가 변할 때 $f$가 변한 것과 $g$가 변한 것 둘 다 기여하기 때문이에요.

넓이로 보면 직관적이에요. 가로 $f$, 세로 $g$인 직사각형이 커질 때 증가분은 '가로가 늘어난 띠 $g\,df$' + '세로가 늘어난 띠 $f\,dg$'예요.

• 곱: $(fg)'=f'g+fg'$
• 몫: $\left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}$ ($g\ne 0$)

곱은 '하나씩 미분해서 더한다', 몫은 '분자 먼저 미분, 빼기, 분모 제곱'이에요.

몫에서 순서와 부호가 함정이에요. 분자는 반드시 $f'g-fg'$ 순서로, 부호를 바꿔서 빼야 해요.

예시 · $y=x^2 e^x$이면 $y'=2xe^x+x^2e^x=xe^x(x+2)$. 인수분해까지 하면 다음 단계가 편해요.

이게 미분법의 진짜 핵심이에요. $y=f(g(x))$ 처럼 함수 안에 함수가 들어간 구조를 미분하는 법이죠.

직관은 '변화율의 곱'이에요. $x$가 조금 변하면 $u=g(x)$가 $g'(x)$배로 변하고, 그 $u$의 변화가 다시 $y=f(u)$를 $f'(u)$배로 변화시켜요.

$\frac{dy}{dx}=f'(g(x))\cdot g'(x)$

겉함수 미분(속은 그대로) × 속함수 미분 · '겉·속' 두 번 미분해서 곱해요.

실전 적용 · $(\sin 3x)'=3\cos 3x$ · $(e^{x^2})'=2xe^{x^2}$ · $(\ln(2x+1))'=\dfrac{2}{2x+1}$

속함수 미분을 곱하는 걸 빼먹는 게 1등 실수예요. 껍질이 여러 겹이면 안쪽으로 계속 연쇄해요. 연쇄법칙은 매개변수·음함수 미분의 기반이기도 해요.

지금까진 $y=f(x)$ 꼴이었어요. 그런데 $y$를 $x$로 깔끔히 풀 수 없는 경우가 있어요. 이때도 연쇄법칙이 구해줘요.

매개변수 미분 · $x=f(t),\ y=g(t)$ 꼴일 때(원·사이클로이드 등). $t$를 매개로 변화율을 나눠요. $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{g'(t)}{f'(t)}\quad(f'(t)\ne 0)$

직관 · '$t$ 한 칸당 $y$ 변화'를 '$t$ 한 칸당 $x$ 변화'로 나누면 '$x$ 한 칸당 $y$ 변화'가 돼요.

음함수 미분 · $x^2+y^2=1$ 처럼 $y$가 식 안에 숨어 있을 때. $y$를 '$x$의 함수'로 보고 양변을 $x$로 미분하되, $y$가 붙은 항엔 연쇄법칙으로 $\dfrac{dy}{dx}$를 곱해요. $2x+2y\frac{dy}{dx}=0\ \Rightarrow\ \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\quad(y\ne 0)$

$y$를 미분할 땐 항상 $\dfrac{dy}{dx}$를 꼬리표처럼 붙여요 · 이게 음함수 미분의 전부예요.

구한 도함수는 도구일 뿐이에요. 진짜 목적은 함수의 모양을 읽는 거예요.

1계도함수 $f'(x)$ · 접선과 증감

• $x=a$에서 접선의 기울기는 $f'(a)$, 접선은 $y-f(a)=f'(a)(x-a)$
• $f'(x)>0$이면 증가, $f'(x)<0$이면 감소
• $f'(x)=0$이고 좌우 부호가 바뀌면 극값 ($+\to-$는 극대, $-\to+$는 극소)

2계도함수 $f''(x)$ · 휘어짐과 변곡점

• $f''(x)>0$이면 아래로 볼록, $f''(x)<0$이면 위로 볼록
• $f''(x)$의 부호가 바뀌는 점이 변곡점

$f'$은 '오르내림', $f''$은 '휘는 방향'을 말해줘요.

예시 · $f(x)=xe^{-x}$. $f'(x)=e^{-x}(1-x)$. $f'=0\Rightarrow x=1$이고, $x=1$에서 극대(값 $e^{-1}$)예요. $f''(x)=e^{-x}(x-2)$라 $x=2$가 변곡점이에요.

이게 다음 단원 적분으로 이어져요. 미분이 '변화율 구하기'였다면 적분은 그 역과정이에요.

미분법은 결국 한 문장이에요. 재료를 미분할 줄 알고, 조립 규칙을 알면 끝.

재료(기본 도함수)

• $(e^x)'=e^x,\quad (a^x)'=a^x\ln a$
• $(\ln x)'=\dfrac{1}{x},\quad (\log_a x)'=\dfrac{1}{x\ln a}$
• $(\sin x)'=\cos x,\quad (\cos x)'=-\sin x,\quad (\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^2 x}$

조립(연산 규칙)

• 곱 · 몫 · 합성(연쇄) · 매개변수 · 음함수 · 역함수

연쇄법칙이 합성·매개변수·음함수·역함수를 전부 관통하는 뼈대예요.

활용 · $f'$로 접선·증감·극값, $f''$로 오목·볼록·변곡점 → 그래프 완성 → 적분으로 연결. 공식 개수보다 '왜 이렇게 나오는지'의 구조를 잡고 있어야 흔들리지 않아요.