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적분 개념정리

미분을 거꾸로 + 잘게 쪼개 더한 넓이 · 둘을 잇는 다리가 기본정리.

부정적분정적분미적분의 기본정리정적분과 넓이정적분으로 정의된 함수적분과 미분의 관계

적분이 뭐예요? · 두 얼굴을 가진 단원

적분은 얼굴이 두 개예요. 첫 번째는 미분의 역연산이라 부정적분이고, 두 번째는 곡선 아래 넓이라 불리는 정적분이에요. 전혀 다른 것 같지만, 미적분의 기본정리가 둘을 잇거든요.

한줄핵심: 적분은 '거꾸로 미분'과 '쪼개 더한 넓이', 같은 동전의 앞뒤예요.

지금부터 이 둘이 어떻게 만나는지 그 큰 그림을 따라가 보세요.

부정적분 · 미분을 거꾸로 돌리기 (그리고 +C의 정체)

함수 $F(x)$ 를 미분해서 $f(x)$ 가 될 때, $F(x)$ 를 $f(x)$ 의 부정적분이라 하고 이렇게 써요.

$\int f(x)\,dx = F(x) + C \quad (F'(x)=f(x))$

여기서 $C$ 를 적분상수라고 해요. 왜 붙일까요? 상수는 미분하면 사라지니까요. $x^2$ 이든 $x^2+5$ 든 미분하면 $2x$ 가 돼요. 그래서 거꾸로 돌릴 땐 '사라진 상수'를 $+C$ 로 표시해 두는 거예요. 부정적분의 답은 하나의 함수가 아니라 무한히 많은 함수 가족이에요.

기본 공식은 미분의 반대예요.

$\int x^n\,dx = \dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+C$
$\int k\,dx = kx+C$ (상수)
$\int \{f(x)\pm g(x)\}\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$

검산은 간단해요. 구한 답을 미분해서 원래 함수가 나오면 정답이에요.

정적분 · '쪼개서 더하기'가 진짜 정의예요

정적분 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ 는 곡선 아래를 얇은 직사각형들로 채워 더한 값이에요. 폭을 무한히 잘게 하면 정확한 넓이가 돼요. 그래서 기호 $\int$ 는 더하기의 S를 늘인 모양이죠.

중요한 성질들이에요.

$\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx = 0$ · 폭이 0이면 넓이도 0
$\displaystyle\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$ · 방향을 뒤집으면 부호가 바뀜
$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx$ · 넓이를 잇으면 더해짐

실제 계산은 다음 섹션의 기본정리 덕분에 직사각형을 셀 필요 없이 부정적분으로 끝나요. 하지만 '쪼개 더한 넓이'라는 본질은 계속 중요해요.

미적분의 기본정리 · 두 얼굴이 만나는 순간

이 단원에서 정말 중요한 건 이거예요. $f(x)$ 의 부정적분이 $F(x)$ 일 때,

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$

직사각형을 무한히 더한 정적분이, 부정적분으로 양 끝값을 빼는 것으로 끝나버려요. 왜 이렇게 될까요? 넓이를 위치 $x$ 까지 쌓은 함수 $S(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$ 를 생각해 봐요. $x$ 를 조금 늘리면 늘어난 넓이는 얇은 기둥 하나인데, 그게 $f(x)\cdot\Delta x$ 예요. 그래서 $S'(x)=f(x)$ 가 돼요. 넓이함수를 미분하면 원래 함수가 나온다 · 미분과 적분이 서로 역연산인 증거죠.

한줄핵심: 넓이를 쌓은 함수를 미분하면 원래 함수 · 이게 적분 전체를 꿰는 한 줄이에요.

정적분과 넓이 · 부호가 함정이에요

정적분 값과 넓이는 같은 게 아니에요. 문제는 $x$ 축 아래 구간이에요. 그곳에서 $f(x)<0$ 이면 정적분이 음수가 되거든요. 넓이는 음수일 수 없으니까요.

진짜 넓이를 구할 때는 절댓값을 씌워요. 실전 절차는 이래요.

$f(x)=0$ 을 풀어 부호가 바뀌는 점을 찾아요
그 점을 경계로 구간을 쪼개요
아래쪽 구간은 정적분 값에 마이너스를 붙여 양수로 만든 뒤 더해요

두 곡선 사이 넓이도 마찬가지예요. 위 함수 빼기 아래 함수를 적분하면 돼요.

$S=\int_a^b (\text{위}-\text{아래})\,dx$

정적분으로 정의된 함수 · 위끝에 x가 들어가면

$\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$ 꼴처럼 적분 위끝에 변수 $x$ 가 들어간 식, 시험에 자주 나와요. 두 가지 무기만 있으면 다 풀려요.

무기 ① 미분하면 적분이 풀린다. $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$ 적분 안의 $t$ 자리에 위끝 $x$ 를 그냥 대입하면 끝이에요. (위끝이 $g(x)$ 같은 식이면 $f(g(x))\cdot g'(x)$ 로, 합성함수 미분을 곱해줘요.)

무기 ② $x=a$ 를 넣으면 0이 된다. $\int_a^a f(t)\,dt=0$ 미지수를 정할 때 이 한 방이 결정타예요.

한줄핵심: 위끝에 $x$ 가 있으면 '미분(함수 찾기) + $x=a$ 대입(상수 결정)' 두 무기로 끝나요.

한눈 요약 · 적분 구조 한 장 정리

이 단원 전체를 하나의 흐름으로 보면 돼요.

핵심 공식

부정적분: $\displaystyle\int x^n\,dx = \dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+C$
기본정리: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$
넓이: 부호 바뀌는 점에서 쪼개고, 아래쪽은 마이너스를 붙여요
정의된 함수: $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$

앞뒤 단원 연결

적분은 미분의 거울이에요. 공식을 뒤집으면 되고, 미분으로 검산하면 돼요.
다항함수만 다루지만, 다음 단원에선 지수·로그·삼각함수와 여러 적분 기법까지 확장돼요.

풀이 꿀팁

🎯 출제 포인트

'정적분으로 정의된 함수'는 거의 매년 한 문제 나와요. $\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt = (\text{우변})$ 꼴이 보이면 반사적으로 두 가지를 해요. ① 양변 미분 → $f(x)$ 를 잡고, ② $x=a$ 대입 → $\displaystyle\int_a^a=0$ 으로 상수를 잡아요. 이 두 줄이면 대부분의 빈칸이 채워져요. 위끝이 $x$ 가 아니라 $x^2$ 같은 식이면 합성함수 미분으로 안쪽 미분 $\cdot\,2x$ 를 꼭 곱하고요.

⚠️ 여기서 다 틀려

넓이 문제에서 절댓값 빼먹기. $x$ 축 아래로 내려가는 구간이 있는데 그냥 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ 로 계산하면 위아래가 상쇄돼 답이 작게 나와요. 무조건 $f(x)=0$ 부터 풀어 부호 바뀌는 점을 찾고, 구간을 쪼갠 뒤 아래쪽 구간은 마이너스를 붙여 더하세요. '정적분 값 = 넓이'가 아니에요. 그래프 스케치 한 번이 이 실수를 막아줘요.

⚡ 빠른 풀이

대칭성으로 계산 통째로 날리기. 적분 구간이 $[-a,a]$ 처럼 원점 대칭이면 · 홀수차항( $x, x^3, x^5\dots$ )은 적분값이 0이에요. 짝수차항(과 상수)만 계산하고, 짝수차항은 $\times 2$ 하면 끝. 예: $\displaystyle\int_{-1}^{1}(x^3+x^2+x)\,dx$ 에서 $x^3, x$ 는 0으로 날리고 $\displaystyle\int_{-1}^1 x^2\,dx=2\int_0^1 x^2\,dx=\dfrac{2}{3}$ . 계산량이 절반 이하로 줄어요.

🧠 강의 꿀팁

$+C$ 는 '부정적분'에만, '정적분'엔 안 붙여요. 헷갈리면 이렇게 외워요 · '부정적분은 답이 안 정해져서( $F(x)+C$ , 함수 가족) $+C$ , 정적분은 답이 숫자로 정해져서 $C$ 없음'. 실제로 정적분에서 $+C$ 를 써봐도 $F(b)+C-(F(a)+C)$ 로 $C$ 가 빼지며 사라져요. 이름(부정/정)이 곧 힌트예요.

⚡ 빠른 풀이

부정적분은 미분으로 검산. 적분 계산은 손이 많이 가서 실수하기 쉬운데, 검산은 1초예요. 구한 답을 미분해서 피적분함수가 그대로 나오면 정답. $\displaystyle\int(3x^2+2)\,dx=x^3+2x+C$ 가 맞나? $(x^3+2x+C)'=3x^2+2$ ✓. 적분과 미분이 역연산이라는 기본정리를 검산 도구로 그냥 써먹는 거예요.

적분 개념정리

미분을 거꾸로 + 잘게 쪼개 더한 넓이 · 둘을 잇는 다리가 기본정리.

부정적분정적분미적분의 기본정리정적분과 넓이정적분으로 정의된 함수적분과 미분의 관계

적분이 뭐예요? · 두 얼굴을 가진 단원

한줄핵심: 적분은 '거꾸로 미분'과 '쪼개 더한 넓이', 같은 동전의 앞뒤예요.

지금부터 이 둘이 어떻게 만나는지 그 큰 그림을 따라가 보세요.

부정적분 · 미분을 거꾸로 돌리기 (그리고 +C의 정체)

함수 $F(x)$ 를 미분해서 $f(x)$ 가 될 때, $F(x)$ 를 $f(x)$ 의 부정적분이라 하고 이렇게 써요.

$\int f(x)\,dx = F(x) + C \quad (F'(x)=f(x))$

기본 공식은 미분의 반대예요.

$\int x^n\,dx = \dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+C$
$\int k\,dx = kx+C$ (상수)
$\int \{f(x)\pm g(x)\}\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$

검산은 간단해요. 구한 답을 미분해서 원래 함수가 나오면 정답이에요.

정적분 · '쪼개서 더하기'가 진짜 정의예요

중요한 성질들이에요.

$\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx = 0$ · 폭이 0이면 넓이도 0
$\displaystyle\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$ · 방향을 뒤집으면 부호가 바뀜
$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx$ · 넓이를 잇으면 더해짐

실제 계산은 다음 섹션의 기본정리 덕분에 직사각형을 셀 필요 없이 부정적분으로 끝나요. 하지만 '쪼개 더한 넓이'라는 본질은 계속 중요해요.

미적분의 기본정리 · 두 얼굴이 만나는 순간

이 단원에서 정말 중요한 건 이거예요. $f(x)$ 의 부정적분이 $F(x)$ 일 때,

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$

한줄핵심: 넓이를 쌓은 함수를 미분하면 원래 함수 · 이게 적분 전체를 꿰는 한 줄이에요.

정적분과 넓이 · 부호가 함정이에요

진짜 넓이를 구할 때는 절댓값을 씌워요. 실전 절차는 이래요.

$f(x)=0$ 을 풀어 부호가 바뀌는 점을 찾아요
그 점을 경계로 구간을 쪼개요
아래쪽 구간은 정적분 값에 마이너스를 붙여 양수로 만든 뒤 더해요

두 곡선 사이 넓이도 마찬가지예요. 위 함수 빼기 아래 함수를 적분하면 돼요.

$S=\int_a^b (\text{위}-\text{아래})\,dx$

정적분으로 정의된 함수 · 위끝에 x가 들어가면

$\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$ 꼴처럼 적분 위끝에 변수 $x$ 가 들어간 식, 시험에 자주 나와요. 두 가지 무기만 있으면 다 풀려요.

무기 ② $x=a$ 를 넣으면 0이 된다. $\int_a^a f(t)\,dt=0$ 미지수를 정할 때 이 한 방이 결정타예요.

한줄핵심: 위끝에 $x$ 가 있으면 '미분(함수 찾기) + $x=a$ 대입(상수 결정)' 두 무기로 끝나요.

한눈 요약 · 적분 구조 한 장 정리

이 단원 전체를 하나의 흐름으로 보면 돼요.

핵심 공식

부정적분: $\displaystyle\int x^n\,dx = \dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+C$
기본정리: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$
넓이: 부호 바뀌는 점에서 쪼개고, 아래쪽은 마이너스를 붙여요
정의된 함수: $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$

앞뒤 단원 연결

적분은 미분의 거울이에요. 공식을 뒤집으면 되고, 미분으로 검산하면 돼요.
다항함수만 다루지만, 다음 단원에선 지수·로그·삼각함수와 여러 적분 기법까지 확장돼요.

풀이 꿀팁

🎯 출제 포인트

⚠️ 여기서 다 틀려

⚡ 빠른 풀이

🧠 강의 꿀팁

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