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미분 개념정리

평균변화율을 한 점으로 졸인 순간변화율 · '변화를 보는 눈' 하나로 연결.

미분계수도함수접선의 방정식극대극소그래프 개형속도와 가속도

왜 미분인가 · 평균변화율에서 순간변화율로

직선의 기울기는 간단해요. 곡선은 위치마다 휘어지는 정도가 달라요. 이 한 점에서의 기울기를 정의하는 것이 미분이에요.

먼저 두 점 사이의 기울기인 평균변화율: $\text{평균변화율} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

이것은 두 점을 잇는 할선의 기울기예요. 뒤쪽 점을 앞쪽 점으로 무한히 가까이 가져가면, 할선은 그 점의 접선으로 바뀌어요.

평균변화율을 극한으로 졸이면 순간변화율(접선)이 돼요.

미분계수 · 한 점의 기울기를 극한으로 정의하기

$x=a$ 에서의 순간변화율을 미분계수 $f'(a)$ 라고 해요.

$f'(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

미분계수의 정체 하나 · 점 $(a, f(a))$ 에서의 접선의 기울기예요. 이것이 이 단원의 뿌리예요.

예: $f(x)=x^2$ 의 $x=2$ 에서 $f'(2)=\lim_{h \to 0}\frac{(2+h)^2-4}{h}=\lim_{h \to 0}(4+h)=4$

중요한 성질: 미분가능하면 반드시 연속이에요. 거꾸로는 아니에요. $y=|x|$ 는 $x=0$ 에서 연속이지만 뾰족해서 미분 불가능해요.

수학근본 · 보너스 영상

미분은 왜 순간변화율인가?

미분이 왜 ‘순간변화율’인지부터.

BREDU 웹 강의

미분은 왜 순간변화율인가?

도함수 · 미분계수를 함수로 승격시키기

점마다 미분계수를 따로 구하는 건 번거로워요. 그래서 $a$ 자리를 변수 $x$ 로 바꿔 함수로 만들어요. 이게 도함수 $f'(x)$ 예요.

$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

도함수는 $x$ 를 넣으면 그 점의 접선 기울기를 뱉어주는 기계예요. 실전에선 다항함수 미분 공식을 써요.

$(x^n)' = n\,x^{n-1}$ (지수를 앞으로 내리고, 지수를 1 깎기)
$(c)' = 0$ / $\{f \pm g\}' = f' \pm g'$ / $\{cf\}' = cf'$

예: $f(x)=x^3-2x^2+5$ 이면 $f'(x)=3x^2-4x$

접선의 방정식 · 기울기 하나면 직선이 그어진다

곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a, f(a))$ 에서의 접선: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$

순서는 항상: 접점의 $x$ 좌표 확인 → $f(a)$ 구하기 → $f'(a)$ 구하기 → 대입

시험은 곡선 밖의 점에서 그은 접선을 묻기도 해요. 이땐 접점을 $(t, f(t))$ 로 미지수로 놓고, 그 접선이 주어진 점을 지난다는 조건으로 $t$ 를 구해요.

접선 문제는 '접점 좌표 + 그 점의 $f'$ ' 두 재료만 모으면 끝나요.

증가·감소와 극대·극소 · 도함수의 부호가 그래프를 말한다

도함수의 부호 하나로 그래프의 모양이 결정돼요.

$f'(x) > 0$ → 그 구간에서 증가 / $f'(x) < 0$ → 감소
$f'(x)$ 가 양 → 음으로 바뀌는 점 → 극대 / 음 → 양 → 극소

중요: $f'(a)=0$ 이라고 무조건 극값은 아니에요. $f(x)=x^3$ 은 $x=0$ 에서 $f'(0)=0$ 이지만 부호가 안 바뀌어(양→양) 극값이 아니에요. 부호 변화를 반드시 확인해야 해요.

실전 도구는 증감표예요. $f'=0$ 인 $x$ 들을 경계로 나누고, 각 구간에서 $f'$ 의 부호를 적어 화살표로 모양을 잡아요. 예: $f(x)=x^3-3x$ 이면 $f'(x)=3(x-1)(x+1)$ , 부호는 $(+, -, +)$ . 따라서 $x=-1$ 에서 극대, $x=1$ 에서 극소.

그래프 개형 그리기 · 화살표를 매끄러운 곡선으로

극값 좌표를 점으로 찍고, 증감을 화살표로 잇으면 개형의 90%가 끝나요. 다음 정보를 모아요.

극값 점 / 2. 증감 화살표 / 3. 축과의 만남 / 4. 양 끝의 방향

시험 응용: $f(x)=k$ 의 실근 개수는 $y=f(x)$ 그래프와 수평선 $y=k$ 의 교점 개수로 번역하세요. 극댓값과 극솟값 사이에 $k$ 가 들어오면 교점이 3개, 극값과 딱 같으면 2개, 극값 밖이면 1개예요.

개형은 점 찍고 화살표 잇기. 실근 개수는 그래프 vs 가로선 싸움.

속도와 가속도 · 미분으로 운동을 읽다

미분은 기하뿐 아니라 운동도 설명해요. 위치를 시간으로 미분하면 속도, 속도를 한 번 더 미분하면 가속도예요.

$v = \dfrac{dx}{dt} = f'(t) \quad (\text{위치의 순간변화율}), \quad a = \dfrac{dv}{dt} = f''(t) \quad (\text{속도의 순간변화율})$

부호 해석이 핵심이에요. $v=0$ 이 되는 순간은 운동 방향이 바뀌는 길목이에요. 예: $x = t^2 - 4t$ 이면 $v = 2t - 4 = 0$ 인 $t=2$ 에서 방향을 틀어요.

이것은 사실 앞에서 배운 증가·감소와 완전히 같은 이야기예요. 위치 그래프의 기울기가 속도니까요. 미분의 역방향(되찾기)이 다음 단원의 적분이에요.

한눈 요약 · 미분 전체를 한 장으로

이 단원은 **'변화를 본다'**는 하나의 눈으로 전부 연결돼요.

출발: 평균변화율을 극한으로 졸이면 미분계수 = 접선 기울기
확장: $a$ 를 변수로 바꾸면 도함수 $f'(x)$ . 다항함수는 $(x^n)'=nx^{n-1}$
접선: $y-f(a)=f'(a)(x-a)$ . 재료는 접점 + $f'$
그래프 읽기: $f'$ 부호 → 증가·감소. 양↔음 변환점 → 극값 (부호 변화 필수)
개형·실근: 극값 점 찍고 화살표로 이기. 실근은 그래프와 가로선 교점
운동: 위치 →(미분)→ 속도 →(미분)→ 가속도. $v=0$ 은 방향 전환점

연결: 극한이 미분의 토대고, 적분은 미분의 역방향이에요.

풀이 꿀팁

🎯 출제 포인트 · 극값은 '부호 변화'까지가 정답

극대·극소 문제에서 $f'(a)=0$ 만 찾고 끝내면 그게 바로 출제자가 판 함정이에요. $f'=0$ 인 점은 '극값 후보'일 뿐, 결론은 $f'$ 의 부호가 실제로 양↔음으로 바뀌는지 증감표로 내려야 해요. $f(x)=x^3$ 의 $x=0$ 처럼 $f'(0)=0$ 인데 부호가 양→양이라 극값이 아닌 보기가 객관식에 꼭 한 줄 섞여 나와요. 특히 ' $f'(a)=0$ 이면 $x=a$ 에서 극값을 가진다' 같은 참·거짓 보기는 거짓이에요 · 반례 $x^3$ 을 즉시 떠올리세요.

⚡ 빠른 풀이 · 접점은 무조건 $(t,\ f(t))$로 잡아라

'곡선 밖의 점 $P$ 에서 그은 접선' 유형은 접점을 모를 때 헤매기 쉬워요. 망설이지 말고 **접점을 $(t,\ f(t))$ **로 두고 접선식 $y-f(t)=f'(t)(x-t)$ 를 세운 뒤, 이 직선이 $P$ 를 지난다는 조건만 대입하세요. 그러면 $t$ 에 대한 방정식 하나로 깔끔하게 정리되고, $t$ 의 해 개수가 곧 '그을 수 있는 접선의 개수'예요. '접점부터 문자로'가 이 유형에서 시간을 가장 많이 아껴줘요.

⚠️ 여기서 다 틀려 · '실근 개수'는 그래프와 가로선 싸움

$x^3-3x=k$ 의 실근 개수를 인수분해로 직접 풀려다 막혀요. 그러지 말고 $y=x^3-3x$ 의 **극댓값 $2$ ·극솟값 $-2$ **를 구한 뒤 수평선 $y=k$ 를 위아래로 움직이며 교점을 세요. 극값 사이( $-2<k<2$ )면 3개, 극값과 딱 같으면( $k=\pm 2$ , 접하는 순간) 2개, 극값 밖이면 1개. 점수가 갈리는 건 부등호 경계( $k=$ 극값)예요 · 등호 포함 여부(이상·미만)를 끝까지 따져야 실수가 안 나와요.

🧠 강의 꿀팁 · 미분은 '내려서 깎기', 부호는 화살표로

$(x^n)'=n\,x^{n-1}$ 은 **'지수를 앞으로 내리고, 지수를 1 깎는다'**로 손에 익히면 암산이 빨라져요. 그리고 증감은 글자로 외우지 말고 그림으로 · $f'>0$ 이면 오르막 $\nearrow$ , $f'<0$ 이면 내리막 $\searrow$ . 증감표 위 칸에 $f'$ 부호, 아래 칸에 화살표만 제대로 그려 넣으면 개형의 90%가 끝나요. 화살표가 꺾이는 자리가 곧 극값 자리예요.

⚠️ 여기서 다 틀려 · '미분가능 ⇒ 연속'의 화살표 방향

미분가능하면 연속은 맞지만, 연속이라고 미분가능한 건 아니에요. 화살표는 한 방향이에요. $y=|x|$ 는 $x=0$ 에서 끊기진 않아 연속이지만, 뾰족해서 좌우 기울기가 달라 미분 불가능하죠. '연속 = 안 끊김, 미분가능 = 부드러움(뾰족X)'으로 구분하고, 참·거짓 판정 문제에서는 '연속이면 미분가능하다'처럼 화살표를 거꾸로 단 보기가 오답이라는 걸 바로 잡아내세요.

미분 개념정리

평균변화율을 한 점으로 졸인 순간변화율 · '변화를 보는 눈' 하나로 연결.

미분계수도함수접선의 방정식극대극소그래프 개형속도와 가속도

왜 미분인가 · 평균변화율에서 순간변화율로

직선의 기울기는 간단해요. 곡선은 위치마다 휘어지는 정도가 달라요. 이 한 점에서의 기울기를 정의하는 것이 미분이에요.

먼저 두 점 사이의 기울기인 평균변화율: $\text{평균변화율} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

이것은 두 점을 잇는 할선의 기울기예요. 뒤쪽 점을 앞쪽 점으로 무한히 가까이 가져가면, 할선은 그 점의 접선으로 바뀌어요.

평균변화율을 극한으로 졸이면 순간변화율(접선)이 돼요.

미분계수 · 한 점의 기울기를 극한으로 정의하기

$x=a$ 에서의 순간변화율을 미분계수 $f'(a)$ 라고 해요.

$f'(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

미분계수의 정체 하나 · 점 $(a, f(a))$ 에서의 접선의 기울기예요. 이것이 이 단원의 뿌리예요.

예: $f(x)=x^2$ 의 $x=2$ 에서 $f'(2)=\lim_{h \to 0}\frac{(2+h)^2-4}{h}=\lim_{h \to 0}(4+h)=4$

중요한 성질: 미분가능하면 반드시 연속이에요. 거꾸로는 아니에요. $y=|x|$ 는 $x=0$ 에서 연속이지만 뾰족해서 미분 불가능해요.

수학근본 · 보너스 영상

미분은 왜 순간변화율인가?

미분이 왜 ‘순간변화율’인지부터.

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미분은 왜 순간변화율인가?

도함수 · 미분계수를 함수로 승격시키기

점마다 미분계수를 따로 구하는 건 번거로워요. 그래서 $a$ 자리를 변수 $x$ 로 바꿔 함수로 만들어요. 이게 도함수 $f'(x)$ 예요.

$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

도함수는 $x$ 를 넣으면 그 점의 접선 기울기를 뱉어주는 기계예요. 실전에선 다항함수 미분 공식을 써요.

$(x^n)' = n\,x^{n-1}$ (지수를 앞으로 내리고, 지수를 1 깎기)
$(c)' = 0$ / $\{f \pm g\}' = f' \pm g'$ / $\{cf\}' = cf'$

예: $f(x)=x^3-2x^2+5$ 이면 $f'(x)=3x^2-4x$

접선의 방정식 · 기울기 하나면 직선이 그어진다

곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a, f(a))$ 에서의 접선: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$

순서는 항상: 접점의 $x$ 좌표 확인 → $f(a)$ 구하기 → $f'(a)$ 구하기 → 대입

접선 문제는 '접점 좌표 + 그 점의 $f'$ ' 두 재료만 모으면 끝나요.

증가·감소와 극대·극소 · 도함수의 부호가 그래프를 말한다

도함수의 부호 하나로 그래프의 모양이 결정돼요.

$f'(x) > 0$ → 그 구간에서 증가 / $f'(x) < 0$ → 감소
$f'(x)$ 가 양 → 음으로 바뀌는 점 → 극대 / 음 → 양 → 극소

그래프 개형 그리기 · 화살표를 매끄러운 곡선으로

극값 좌표를 점으로 찍고, 증감을 화살표로 잇으면 개형의 90%가 끝나요. 다음 정보를 모아요.

극값 점 / 2. 증감 화살표 / 3. 축과의 만남 / 4. 양 끝의 방향

개형은 점 찍고 화살표 잇기. 실근 개수는 그래프 vs 가로선 싸움.

속도와 가속도 · 미분으로 운동을 읽다

미분은 기하뿐 아니라 운동도 설명해요. 위치를 시간으로 미분하면 속도, 속도를 한 번 더 미분하면 가속도예요.

$v = \dfrac{dx}{dt} = f'(t) \quad (\text{위치의 순간변화율}), \quad a = \dfrac{dv}{dt} = f''(t) \quad (\text{속도의 순간변화율})$

부호 해석이 핵심이에요. $v=0$ 이 되는 순간은 운동 방향이 바뀌는 길목이에요. 예: $x = t^2 - 4t$ 이면 $v = 2t - 4 = 0$ 인 $t=2$ 에서 방향을 틀어요.

한눈 요약 · 미분 전체를 한 장으로

이 단원은 **'변화를 본다'**는 하나의 눈으로 전부 연결돼요.

출발: 평균변화율을 극한으로 졸이면 미분계수 = 접선 기울기
확장: $a$ 를 변수로 바꾸면 도함수 $f'(x)$ . 다항함수는 $(x^n)'=nx^{n-1}$
접선: $y-f(a)=f'(a)(x-a)$ . 재료는 접점 + $f'$
그래프 읽기: $f'$ 부호 → 증가·감소. 양↔음 변환점 → 극값 (부호 변화 필수)
개형·실근: 극값 점 찍고 화살표로 이기. 실근은 그래프와 가로선 교점
운동: 위치 →(미분)→ 속도 →(미분)→ 가속도. $v=0$ 은 방향 전환점

연결: 극한이 미분의 토대고, 적분은 미분의 역방향이에요.

풀이 꿀팁

🎯 출제 포인트 · 극값은 '부호 변화'까지가 정답

⚡ 빠른 풀이 · 접점은 무조건 $(t,\ f(t))$로 잡아라

⚠️ 여기서 다 틀려 · '실근 개수'는 그래프와 가로선 싸움

🧠 강의 꿀팁 · 미분은 '내려서 깎기', 부호는 화살표로

⚠️ 여기서 다 틀려 · '미분가능 ⇒ 연속'의 화살표 방향