확률 개념정리

왜 확률이 필요할까요? 주사위 결과는 6가지지만, "2 이하가 나올 가능성"을 말하려면 전체에 대한 비율이 필요해요.

용어부터 잡을게요.

• 시행: 같은 조건에서 반복할 수 있고, 결과가 우연에 정해지는 실험
• 표본공간 $S$: 일어날 수 있는 모든 결과. 주사위면 $S=\{1,2,3,4,5,6\}$
• 사건: 표본공간의 부분집합

사건은 집합이에요. 합·교·여집합이 그대로 무기가 돼요.

근원사건이 등가능할 때, 확률은 $\mathrm{P}(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$ 분자·분모가 모두 '경우의 수'라는 점이 핵심이에요. 확률 문제의 대부분은 결국 경우의 수를 세는 일이거든요.

등가능을 가정할 수 없으면 통계적 확률을 써요. 시행을 무한히 반복했을 때의 상대도수를 확률로 봅니다.

정의 $\mathrm{P}(A)=\dfrac{n(A)}{n(S)}$에서 세 가지 성질이 자동으로 따라 나와요.

• $A$는 $S$의 부분집합이니 $0\le \mathrm{P}(A)\le 1$
• 반드시 일어나는 사건은 $\mathrm{P}(S)=1$
• 절대 안 일어나는 사건은 $\mathrm{P}(\varnothing)=0$

확률은 0과 1 사이. 1을 넘으면 뭔가 틀린 거예요.

한 가지 주의: 확률이 0이라고 '절대 불가능'은 아니에요. 연속 상황에서는 특정 점이 나올 확률이 0이어도 그 점이 표본공간에 있거든요. 하지만 우리가 다루는 '경우의 수가 유한한' 문제에서는 $\mathrm{P}(A)=0 \iff A=\varnothing$으로 봐도 괜찮아요.

표본공간을 빠짐없이 쪼개면 각 조각의 확률을 다 더했을 때 1이 됩니다. 이 '합이 1' 감각이 여사건의 뿌리예요.

"$A$ 또는 $B$"가 일어날 확률 $\mathrm{P}(A\cup B)$를 구할 때 $\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)$로 하면 겹치는 부분을 두 번 세요.

$\mathrm{P}(A\cup B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)-\mathrm{P}(A\cap B)$

이건 포함배제의 확률 버전이에요. 두 사건이 동시에 일어날 수 없으면(배반사건) 빼는 항이 0이 되어 $\mathrm{P}(A\cup B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B) \quad (A,\,B\text{ 배반})$

'또는'이 보이면 덧셈정리. 겹침을 빼는 걸 절대 잊지 마세요.

"적어도 하나는 성공", "하나도 성공 못 함" 같은 문제는 정면으로 세면 복잡해요. 그런데 그 반대는 보통 딱 한 가지라 세기 쉽죠. 그래서 반대를 세고 1에서 빼요.

사건 $A$와 여사건 $A^{c}$는 배반이고 합치면 $S$예요. 그래서 $\mathrm{P}(A^{c})=1-\mathrm{P}(A)$

예시: 동전을 3번 던질 때 "적어도 한 번 앞면"의 확률. 정면으로 세면 여러 경우를 다 따져야 하지만, 여사건 "전부 뒷면"은 한 가지예요. $\mathrm{P}(\text{전부 뒷면})=\left(\tfrac{1}{2}\right)^3=\tfrac{1}{8} \;\Rightarrow\; \mathrm{P}(\text{적어도 한 번 앞})=\tfrac{7}{8}$

'적어도', '최소한', '하나 이상' 이 단어들이 보이면 반사적으로 여사건부터 생각하세요.

"$B$가 일어났다는 걸 알았을 때 $A$의 확률"은 더 이상 전체 $S$ 위에서 재지 않아요. 이미 일어난 $B$가 새로운 표본공간이 되거든요.

새 표본공간은 $B$, 그 안에서 $A$에 해당하는 부분은 $A\cap B$. 그래서 $\mathrm{P}(A\mid B)=\frac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(B)} \quad (\mathrm{P}(B)>0)$

핵심은 분모가 $\mathrm{P}(B)$로 줄어든다는 것이에요. 전체가 아니라 $B$만 보니까요.

예시: 주사위 한 번. $B$="짝수" $\{2,4,6\}$가 나왔다고 알려줬을 때, $A$="4 이상"의 확률은? 새 표본공간은 $\{2,4,6\}$(3개), 그중 4 이상은 $\{4,6\}$(2개)이라 $\mathrm{P}(A\mid B)=\dfrac{2}{3}$.

$\mathrm{P}(A\mid B)$와 $\mathrm{P}(B\mid A)$는 다른 값이에요. 누가 조건(분모)인지부터 확인하세요.

조건부 정의에서 $\mathrm{P}(B)$를 곱하면, '동시에 일어날 확률'을 구하는 곱셈정리가 나와요. $\mathrm{P}(A\cap B)=\mathrm{P}(B)\,\mathrm{P}(A\mid B)$

'그리고/동시에'가 보이면 곱셈, '또는'이면 덧셈 · 이 한 줄로 두 정리가 갈려요.

독립은 $B$가 일어났든 말든 $A$의 확률이 안 변할 때, 즉 $\mathrm{P}(A\mid B)=\mathrm{P}(A)$일 때예요. 이걸 곱셈정리에 넣으면 $\mathrm{P}(A\cap B)=\mathrm{P}(A)\,\mathrm{P}(B) \quad (A,\,B\text{ 독립})$

보통 복원추출(뽑고 다시 넣음)이나 서로 다른 시행(주사위와 동전)은 독립, 비복원추출(뽑고 안 넣음)은 종속이에요.

⚠️ 독립과 배반을 절대 헷갈리지 마세요. 배반은 $\mathrm{P}(A\cap B)=0$(같이 못 일어남), 독립은 영향이 없음. 배반인 두 사건이 확률이 0이 아니면 무조건 종속이에요.

확률은 표본공간 위에 네 개의 연산을 얹은 거예요. 신호어로 외우면 손이 먼저 움직여요.

• 정의: $\mathrm{P}(A)=\dfrac{n(A)}{n(S)}$ · 경우의 수 세기
• 덧셈('또는'): $\mathrm{P}(A\cup B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)-\mathrm{P}(A\cap B)$
• 여사건('적어도'): $\mathrm{P}(A)=1-\mathrm{P}(A^{c})$
• 조건부('~일 때'): $\mathrm{P}(A\mid B)=\dfrac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(B)}$
• 곱셈('그리고'): $\mathrm{P}(A\cap B)=\mathrm{P}(B)\mathrm{P}(A\mid B)$

문제를 받으면 ① 표본공간이 뭔지, ② 신호어가 뭔지, ③ 복원이냐 비복원이냐 · 이 셋만 먼저 체크하면 식은 자동이에요.